Sjakkturnering

To matematikkstudenter deltar i en sjakkturnering. Alle spiller et parti mot hver av de andre, og i hver runde får alle spille. Det gis et poeng for vinst, og et halvt poeng for remis. Alle de andre deltagerne ender på samme poengsum. Tilsammen får de to matematikkstudentene 8 poeng. Hvor mange deltok i turneringen ?

La det i tillegg til de to være n deltakere, som hver fikk p poeng. Totalt antall poeng i turneringen er derfor 8 + pn. På den annen side spiller hver spiller (n+1) partier (og derfor antall poeng) er ½(n+2)(n+1). Altså er 8 + pn = ½(n+2)(n+1), dvs. p = n/2 + 3/2 - 7/n. Poengsummen må være heltallig eller halvtallig. Av uttrykket for p ser vi at det bare er tilfelle for n = 1, 2, 7 eller 14. Dessuten må poengsummen være positiv, og det utelukker n = 1 og 2. Da alle deltakerne fikk spille i hver runde, må det være et like antall deltakere. Dette utelukker n = 7, slik at det bare gjenstår ett alternativ, n = 14. Hver av de andre deltakerne fikk altså 8 poeng, og i alt var det 16 deltakere.